Question

在平面直角坐标系xOy中，已知定点F（1，0），点P在y轴上运动，点M在x轴上，点N为平面内的动点，且满足

PM

•

PF

=0，

PM

+

PN

=0．
（1）求动点N的轨迹C的方程；
（2）设点Q是直线l：x=-1上任意一点，过点Q作轨迹C的两条切线QS，QT，切点分别为S，T，设切线QS，QT的斜率分别为k₁，k₂，直线QF的斜率为k₀，求证：k₁+k₂=2k₀．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设点N（x，y），M（a，0），P（0，b），由已知条件推导出点M（-x，0），P(0，

y

2

)，由此能求出动点N的轨迹C的方程．
（2）设点Q（-1，t），联立方程

y2=4x y-t=k(x+1)

，得k²x²+2（k²+kt-2）x+（k+t）²=0，由此利用根的判别式和韦达定理能证明k₁+k₂=2k₀．

解答： （1）解：设点N（x，y），M（a，0），P（0，b）．
∵

PM

+

PN

=0可知，∴点P是MN的中点，
∴

a+x 2 =0 0+y 2 =b

，即

a=-x b= y 2

，
∴点M（-x，0），P(0，

y

2

)．
∴

PM

=(-x，-

y

2

)，

PF

=(1，-

y

2

)．    …3分
∵

PM

•

PF

=0，∴-x+

y2

4

=0，即y²=4x．
∴动点N的轨迹C的方程为y²=4x．…5分
（2）证明：设点Q（-1，t），
由于过点Q的直线y-t=k（x+1）与轨迹C：y²=4x相切，
联立方程

y2=4x y-t=k(x+1)

，
整理得k²x²+2（k²+kt-2）x+（k+t）²=0．…7分
则△=4（k²+kt-2）²-4k²（k+t）²=0，
化简得k²+tk-1=0．
由题意知k₁，k₂是关于k的方程k²+tk-1=0的两个根，
∴k₁+k₂=-t．
又k0=-

t

2

，∴k₁+k₂=2k₀．
∴k₁+k₂=2k₀．…10分．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查斜率和相等的证明，解题时要认真审题，注意根的判别式和韦达定理的合理运用．