Question

己知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（2-x），且当x≠1时，其导函数f′（x）满足f′（x）＞xf′（x），若a∈（1，2），则（　　）

• A、f（log₂a）＜f（2^a）＜f（2）
• B、f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
• C、f（log₂a）＜f（2）＜f（2^a）
• D、f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a）

Answer 1

考点：导数的运算,函数的周期性

专题：导数的概念及应用

分析：由函数的性质得到函数的对称轴，再由f′（x）＞xf′（x），得到函数的单调区间，由函数的单调性得到要证得结论．

解答： 解：函数f（x）对定义域R内任意x都有f（x）=f（2-x），
即函数图象的对称轴是x=1，
∵导函数f′（x）满足f′（x）＞xf′（x），
∴f′（x）（1-x）＞0，
∴x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0，
即 f（x）在（-∞，1）上递增，在（1，+∞）上递减；
∵a∈（1，2），
∴0＜log₂a＜1；
∵f（0）=f（2），
∴f（2）＜f（log₂a）；
∵2³＞2＞1，
∴f（2^a）＜f（2），
∴f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）．
故选：B．

点评：本题考查了导数的运算，考查了函数单调性的性质，是基础的运算题．