Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=

2

3

a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ为实数，n为正整数．
（1）对任意实数λ，求证：a₁，a₂，a₃不成等比数列；
（2）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）设S_n为数列{b_n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用反证法结合等比数列的性质和公式即可证明a₁，a₂，a₃不成等比数列；
（2）根据等比数列的定义和性质进行证明即可；
（3）求出数列的和，解不等式即可得到结论．

解答： 解（1）证明：假设存在一个实数λ，使a₁，a₂，a₃是等比数列，则有a₂²=a₁a₃，
即(

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λ-3)2=λ(

4

9

λ-4)，
则

4

9

λ²-4λ+9=

4

9

λ²-4λ，
即9=0矛盾．
所以a₁，a₂，a₃不成等比数列．
（2）因为bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=（-1）ⁿ⁺¹（

2

3

a_n-2n+14）=

2

3

=（-1）ⁿ（a_n-3n+21）=-

2

3

b_n，
又b₁=-（λ+18），
所以当λ=-18，b_n=b₁=0，（n为正整数），此时{b_n}不是等比数列．…8分
当λ≠-18时，b₁≠0，由上式可知b_n≠0，
∴

bn+1

bn

=-

2

3

（n为正整数），
故当λ≠-18时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-

2

3

为公比的等比数列．
（3）由（2）知，当λ=-18时，b_n=0，则S_n=0，所以S_n＞-12恒成立．
当λ≠-18，得b_n=-（λ+18）（-

2

3

）^n-1，
于是S_n=-

3

5

（λ+18）[1-（-

2

3

）ⁿ]，
要使对任意正整数n，都有S_n＞-12成立，即-

3

5

（λ+18）[1-（-

2

3

）ⁿ]＞-12，
即λ＜

20

1-(- 2 3 )n

-18，
令f（n）=1-（-

2

3

）ⁿ，
则当n为正奇数时，1＜f（n）≤

5

3

，
当n为正偶数时，

5

9

≤f（n）＜1，
∴f（n）的最大值为f1）=

5

3

，
于是可得λ＜20×

3

5

-18=-6，
综上所述，存在实数λ∈（-∞，-6），使得对任意正整数n，都有S_n＞-12．

点评：本题主要考查等比数列的判断和应用，以及数列和不等式的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．