Question

已知函数f（x）=

lnx-x

x

．
（Ⅰ）求点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，求得f′（1），再求出f（1），然后直接由直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）直接由导函数的符号确定原函数的单调区间；
（Ⅲ）由（Ⅱ）中求得的原函数的单调区间，把m分类得到函数f（x）在[m，2m]上的单调性，由单调性求得f（x）在[m，2m]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

lnx-x

x

=

lnx

x

-1．
∴f′(x)=

1-lnx

x2

，则f′（1）=1．
又f（1）=-1，
∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=1×（x-1）．
整理得：x-y-2=0；
（Ⅱ）f′(x)=

1-lnx

x2

（x＞0），
由f′（x）＞0，得0＜x＜e；
由f′（x）＜0，得x＞e．
∴函数f（x）的单调减区间为（e，+∞）；单调增区间为（0，e）．
（Ⅲ）当2m≤e，即m≤

e

2

时，函数f（x）在[m，2m]上为增函数，f(x)max=f(2m)=

ln2m

2m

-1；
当m≥e时，函数f（x）在[m，2m]上为减函数，f(x)max=f(m)=

lnm

m

-1；
当

e

2

＜m＜e时，函数f（x）在[m，2m]上的最大值为f(x)max=f(e)=

1

e

-1．

点评：本题考查了利用导数求过曲线上某点的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．