Question

9．已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）在（0，$\frac{π}{2}$）单调递增，则ω的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$]
• B． [$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]
• C． （0，$\frac{1}{2}$]
• D． （0，2]

Answer 1

分析 根据x的取值范围，求出ωx+$\frac{π}{4}$的取值范围；再根据题意求出周期T，列出不等式，求出ω的取值范围．

解答 解：∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），ω＞0，
∴ωx+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{πω}{2}$+$\frac{π}{4}$）；
又函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
∴周期T=$\frac{2π}{ω}$≥π，得ω≤2；
又∵f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）的单调增区间满足：
-$\frac{π}{2}$+2kπ＜ωx+$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z；
令k=0，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{4}≥-\frac{π}{2}}\\{\frac{πω}{2}+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
解得ω≤$\frac{1}{2}$；
综上，ω的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]．
故选：C．

点评 本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，着重考查了正弦函数的单调性与三角函数图象的变换问题，是基础题目．