Question

17．已知定义在R上的单调函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）为奇函数．

Answer 1

分析 （1）利用抽象函数的关系式，通过赋值法求解即可．
（2）利用赋值法，通过函数的奇偶性证明即可．

解答 解：（1）定义在R上的单调函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），
当x=y=0时，f（0）=f（0）+f（0），
解得f（0）=0．
（2）定义在R上的单调函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），
令y=-x，可得：f（x-x）=f（x）+f（-x），
可得0=f（x）+f（-x），
所以f（-x）=-f（x）．
函数是奇函数．

点评 本题考查抽象函数的应用，赋值法的应用，函数的奇偶性的证明，是基础题．