Question

16．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六个顶点都在直径为$\sqrt{269}$的球面上，且AB=5，AC=12，BC=13，点D是BB₁的中点，则AD与平面BCC₁B₁所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{6}{13}$
• B． $\frac{5}{13}$
• C． $\frac{6\sqrt{2}}{13}$
• D． $\frac{5\sqrt{2}}{13}$

Answer 1

分析 由已知AB⊥AC，从而矩形BCC₁B₁的对角线长即为球直径，进而CC₁=6，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD与平面BCC₁B₁所成的角的正弦值

解答 解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六个顶点都在直径为$\sqrt{269}$的球面上，
且AB=5，AC=12，BC=13，点D是棱BB₁的中点，
∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
且BC为过底面ABC的截面圆的直径．
取BC中点E，则OE⊥底面ABC，则O在侧面BCC₁B₁内，
矩形BCC₁B₁的对角线长即为球直径，
∴$\sqrt{169+C{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{269}$，解得CC₁=10，
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），D（5，0，5），B（5，0，0），B₁（5，0，10），C（0，12，0），
$\overrightarrow{AD}$=（5，0，5），$\overrightarrow{BC}$=（-5，12，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，10），
设平面BCC₁B₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-5x+12y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=10z=0}\end{array}\right.$，取x=12，得$\overrightarrow{n}$=（12，5，0），
设AD与平面BCC₁B₁所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{60}{\sqrt{50}•13}$=$\frac{6\sqrt{2}}{13}$．
∴AD与平面BCC₁B₁所成的角的正弦值为$\frac{6\sqrt{2}}{13}$．
故选：C．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用