Question

1．已知数列{a_n}前n项和为S_n，若a₁=1，a_n+a_n+1=2n-1，则S₄₉=1175；若a₁=1，a_n-1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），则S₂₀₁₅=3×2¹⁰⁰⁸-5；若a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，则S₄₀=820．

Answer 1

分析 通过对a_n+a_n+1=2n-1变形，整理可知数列{a_n-n+1}是首项为1、公比为-1的等比数列，进而计算可得结论；
由已知得数列{a_n}的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列，偶数项是首项为4，公比为2的等比数列，由此能求出前2015项的和；
由已知条件推导出从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8位首项，以16为公差的等差数列．由此能求出{a_n}的前40项和．

解答 解：由a_n+a_n+1=2n-1，得a_n+1=-a_n+2n-1=-a_n+（n+1）+n-2=-a_n+（n+1）+n-1-1，
整理得：a_n+1-（n+1）+1=-a_n+n-1=-（a_n-n+1），
又∵a₁-1+1=1-1+1=1，
∴数列{a_n-n+1}是首项为1、公比为-1的等比数列，
∴a_n-n+1=1×（-1）^n-1，a_n=n-1+（-1）^n-1，
则S₄₉=（0+1+2+…+48）+（1-1+1-1+1-1+…-1）=$\frac{（1+48）×48}{2}-1$=1175；
由a₁=1，a_n-1•a_n=2ⁿ，得a₂=4，且a_n•a_n+1=2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}=2$，
∴数列{a_n}中奇数项、偶数项分别成等比数列，
∴S₂₀₁₅=$\frac{1-{2}^{1008}}{1-2}+\frac{4（1-{2}^{1007}）}{1-2}$=3×2¹⁰⁰⁸-5；
由于数列{a_n}满足a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，
故有a₂-a₁=1，a₃+a₂=3，a₄-a₃=5，a₅+a₄=7，
a₆-a₅=9，a₇+a₆=11，…a₅₀-a₄₉=97．
从而可得 a₃+a₁=2，a₄+a₂=8，a₇+a₅=2，
a₈+a₆=24，a₉+a₇=2，a₁₂+a₁₀=40，a₁₃+a₁₁=2，a₁₆+a₁₄=56，…
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，
从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8位首项，以16为公差的等差数列．
∴{a_n}的前40项和为：10×2+[10×8+$\frac{1}{2}$（10×9）×16]=20+80+720=820．
故答案为：1175；3×2¹⁰⁰⁸-5；820．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差数列、等比数列的确定，训练了等差数列和等比数列的求和方法，是中档题．