Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），M，N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k₁，k₂，k₁k₂≠0，若|k₁|+|k₂|的最小值为

2

，则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  1

  2

• C、

  3

  3

• D、

  2

  2

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀），P（x，y），可得k₁=

y-y0

x-x0

，k₂=

y+y0

x+x0

．由于M、N、P都在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上，可得

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，

x2

a2

+

y2

b2

=1，相减可得|k₁|•|k₂|=

b2

a2

．再利用基本不等式的性质可得|k₁|+|k₂|≥2

|k1k2|

=

2b

a

．可得

2b

a

=

2

，即可得出．

解答： 解：设M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀），P（x，y），
则k₁=

y-y0

x-x0

，k₂=

y+y0

x+x0

．
又∵M、N、P都在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上，
∴

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∴

(x0+x)(x0-x)

a2

+

(y0+y)(y0-y)

b2

=0，
∴

x-x0

y-y0

=-

a2

b2

•

y+y0

x+x0

．
∴

1

k1

=-

a2

b2

k₂，即|k₁|•|k₂|=

b2

a2

．
又∵|k₁|+|k₂|≥2

|k1k2|

=

2b

a

．
∴

2b

a

=

2

，即2b²=a²，
∴2（a²-c²）=a²，即2c²=a²，
∴

c2

a2

=

1

2

，即e²=

1

2

，
∴e=

2

2

．
答案  D．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．