Question

已知动圆过定点F（1，0），且与直线l：x=-1相切
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）过点P（2，0）作直线交C的轨迹于A，B两点，交l于点M，若点M的纵坐标为-3，求|AB|的长．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设M为动圆圆心，F（1，0），由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，由此能求出动圆圆心的轨迹方程．
（2）设直线AB的方程为y=k（x-2），则y=k（x-2）过点（-1，-3），从而直线AB的方程为y=x-2，由此能求出|AB|的长．

解答： 解：（1）如图，设M为动圆圆心，F（1，0），
过点M作直线x=-1的垂线，垂足为N，由题意知：|MF|=|MN|
即动点M到定点F与到定直线x=-1的距离相等，
由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，
其中F（1，0）为焦点，x=-1为准线，
∴动圆圆心的轨迹方程为y²=4x．
（2）设直线AB的方程为y=k（x-2），则y=k（x-2）过点（-1，-3），
解得k=1，∴直线AB的方程为y=x-2，
联立

y=x-2 y2=4x

，得x²-8x+4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=8，x₁x₂=4，
∴|AB|=

(1+1)(64-16)

=4

6

．

点评：本题考查圆心的轨迹方程的求法，考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．