题目内容
如图，过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y-1）2=1于点A、B、C、D，则|AB|×|CD|的值是（ ）| A、8 | B、4 | C、2 | D、1 |
考点：直线与圆的位置关系
专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：方法一：特殊化，取过焦点的直线y=1，求出直线依次交抛物线与圆的点，计算|AB|×|CD|的值；
方法二：设过抛物线焦点F的直线y=kx+1，与x2=4y联立，求出|AB|、|CD|的乘积来．
方法二：设过抛物线焦点F的直线y=kx+1，与x2=4y联立，求出|AB|、|CD|的乘积来．
解答：
解：方法一：特殊化，抛物线x2=4y的焦点是F（0，1），
取过焦点的直线y=1，依次交抛物线与圆x2+（y-1）2=1的点是
A（-2，1）、B（-1，1）、C（1，1）、D（2，1），
∴|AB|×|CD|=1×1=1；
法二：∵抛物线焦点为F（0，1），
∴设直线为y=kx+1，
直线与x2=4y联立得：
y2-（4k2+2）y+1=0；
∵|AB|=|AF|-1=yA，
|CD|=|DF|-1=yB；
∴|AB|•|CD|=yAyB=1．
故选：D．
取过焦点的直线y=1，依次交抛物线与圆x2+（y-1）2=1的点是
A（-2，1）、B（-1，1）、C（1，1）、D（2，1），
∴|AB|×|CD|=1×1=1；
法二：∵抛物线焦点为F（0，1），
∴设直线为y=kx+1，
直线与x2=4y联立得：
y2-（4k2+2）y+1=0；
∵|AB|=|AF|-1=yA，
|CD|=|DF|-1=yB；
∴|AB|•|CD|=yAyB=1．
故选：D．
点评：本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了直线与抛物线的应用问题，是中档题目．
练习册系列答案
相关题目
下列有关命题的说法正确的是（ ）
| A、命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1” |
| B、若p∨q真命题，则p、q均为真命题 |
| C、命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0” |
| D、“x=y”是“sinx=siny”的充分不必要条件 |
如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．