Question

设f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=-1．
（1）求f（1），f（9）的值；
（2）若f（x）+f（x-8）≥-2，求x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=1易得f（1）=0；令x=y=3，可得f（3）+f（3）=f（9），求得f（9）的值；
（2）由f（x）+f（x-8）＞-2，知f（x）+f（x-8）=f[x（x-8）]≥f（9），再由函数f（x）在定义域（0，+∞）上为减函数，能求出原不等式的解集．

解答： 解（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）
∴令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0
再令x=y=3，
∴f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2
（2）∵f（x）+f（x-8）≥-2，
∴f（x）+f（x-8）≥f（9），
∴f[x（x-8）]≥f（9）
∴

x＞0 x-8＞0 x(x-8)≤9

，
解得8＜x≤9
∴x的取值范围是（8，9]

点评：本题是抽象函数及其应用类问题．在解答的过程当中充分体现了抽象性、特值的思想以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．