Question

已知f（x）=sin⁴x-cos⁴x+2

3

sinxcosx+a
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）把y=f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动

π

3

个单位长度，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式；
（Ⅲ）y=g（x）在[0，

π

2

]上最大值与最小值之和为3，求a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简得f(x)=2sin(2x-

π

6

)+a，即可求出最小正周期；
（Ⅱ）根据三角函数图象的变换规律，即可求出函数y=g（x）的解析式；
（Ⅲ）先求出y=g（x）在[0，

π

2

]上最大值与最小值，因为之和为3，即可求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=sin4x-cos4x+2

3

sinxcosx(x∈R)=(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+

3

sin2x=

3

sin2x-cos2x=2(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)=2sin(2x-

π

6

)+a．
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）f(x)=2sin(2x-

π

6

)+a

横坐标变为原来的2倍

纵坐标不变

y=2sin(x-

π

6

)+a

向左平移 π 3 个单位

y=2sin(x+

π

6

)+a．
所以函数g(x)=2sin(x+

π

6

)+a．
（Ⅲ）∵x∈[0，

π

2

]∴x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]
∴

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
即

g(x)max=2+a g(x)min=1+a

，
∴2a+3=3
即a=0．

点评：本题主要考察三角函数中的恒等变换应用以及三角函数的最值，属于中档题．