Question

14．已知F为抛物线C：y²=8x的焦点，点E在点C的准线上，且在x轴上方，线段EF的垂直平分线于C的准线交于点M（-2，-3），与C交于点P，则△PEF的面积为（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 5
• C． 10
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 由抛物线方程求出焦点坐标，设出E的坐标（-2，m），利用EF与PM垂直求得m的值，进而可求直线PM方程，与抛物线方程联立可求出点P坐标，利用两点间距离公式及三角形的面积公式即可求得△PEF的面积．

解答 解：依题意，F（2，0）、准线方程为：x=-2，
设E（-2，m）（m＞0），则EF中点为G（0，$\frac{m}{2}$），k_EF=$\frac{m-\frac{m}{2}}{-2-0}$=-$\frac{m}{4}$，
又∵M（-2，-3），PM⊥EF，
∴-$\frac{m}{4}$•$\frac{\frac{m}{2}+3}{0+2}$=-1，即m=2或m=-8（舍），
∴G（0，1），直线GM的方程为：2x-y+1=0，
联立直线GM与抛物线方程，化简得：y²-4y+4=0，
解得：y=2，P（$\frac{1}{2}$，2），
S_△PEF=$\frac{1}{2}$|EF||PG|
=|GF||PG|
=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$•$\sqrt{\frac{1}{{2}^{2}}+{（2-1）}^{2}}$
=$\frac{5}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了抛物线的简单性质，考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力，属于中档题．