Question

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA+sinB=2sinC，a=2b．
（Ⅰ）求cos（π-A）的值；
（Ⅱ）若S_△ABC=$\frac{{4\sqrt{15}}}{3}$，求c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知等式得a+b=2c，联立a=2b，可得$b=\frac{2}{3}c$，由余弦定理可求cosA，利用诱导公式可求cos（π-A）的值．
（Ⅱ）由$cosA=-\frac{1}{4}$，得$sinA=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，利用三角形面积公式可解得c的值．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵sinA+sinB=2sinC，由正弦定理得a+b=2c，（2分）
又a=2b，可得$b=\frac{2}{3}c$，（3分）．
∴$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{\frac{4}{9}{c^2}+{c^2}-\frac{16}{9}{c^2}}}{{2×\frac{2}{3}{c^2}}}=-\frac{1}{4}$，（5分）
∴$cos（π-A）=-cosA=\frac{1}{4}$．（7分）
（Ⅱ）由$cosA=-\frac{1}{4}$，得$sinA=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，（8分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}{c^2}×\frac{{\sqrt{15}}}{4}=\frac{{\sqrt{15}}}{12}{c^2}$，（10分）
∴$\frac{{\sqrt{15}}}{12}{c^2}=\frac{{4\sqrt{15}}}{3}$，解得c=4．（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．