Question

2．已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，b_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$，n∈N^*．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）若S₇=7，S₁₅=75，求数列{4${\;}^{{b}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的定义及其前n项和公式即可证明；
（2）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：设等差数列{a_n}的公差为d，
则S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d，
∴b_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$=a₁+$\frac{n-1}{2}$d，
∴b_n+1-b_n=a₁+$\frac{n+1-1}{2}$d-a₁-$\frac{n-1}{2}$d=$\frac{1}{2}$d为常数，
∴数列{b_n}是等差数列，首项为a₁，公差为$\frac{1}{2}$d．
（2）解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵S₇=7，S₁₅=75，
∴$\left\{\begin{array}{l}{7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=7}\\{15{a}_{1}+\frac{15×14}{2}d=75}\end{array}\right.$，解得a₁=-2，d=1．
∴b_n=-2+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n-5}{2}$．
∴4${\;}^{{b}_{n}}$=2^n-5．
∴数列{4${\;}^{{b}_{n}}$}的前n项和T_n=$\frac{\frac{1}{16}（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{{2}^{n}-1}{16}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．