Question

已知函数f（x）=（x+1）²，f′（x）是函数f（x）的导函数，设a₁=0，a_n=a_n+1+

f(an)

f′(an)

．
（1）证明：数列{a_n+1}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=na_n+n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,等比数列的通项公式,等比关系的确定,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用已知条件结合函数与导数的关系，推出数列的递推关系式，推出数列{a_n+1}是等比数列，然后求出通项公式．
（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求出数列的和即可．

解答： （1）证明：由a_n=a_n+1+

f(an)

f′(an)

，得a_n=a_n+1+

(an+1)2

2(an+1)

，
所以a_n+1=

1

2

a_n-

1

2

，即a_n+1+1=

1

2

（a_n+1）．
故数列{a_n+1}是以a₁+1=1为首项，

1

2

为公比的等比数列，
所以a_n+1=（

1

2

）^n-1，即a_n=（

1

2

）^n-1-1.6分
（2）解：由（1）得b_n=na_n+n=n（

1

2

）^n-1．
故S_n=1×（

1

2

）⁰+2×（

1

2

）¹+…+（n-1）（

1

2

）^n-2+n（

1

2

）^n-1，①
则

1

2

S_n=1×（

1

2

）¹+2×（

1

2

）²+…+（n-1）（

1

2

）^n-1+n（

1

2

）ⁿ，②
①-②得

1

2

S_n=（

1

2

）⁰+（

1

2

）¹+（

1

2

）²+…+（

1

2

）^n-1-n（

1

2

）ⁿ=2-

n+2

2n

，12分．
∴S_n=4-

n+2

2n-1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，数列与函数的综合应用，数列求和的方法，考查计算能力．