Question

设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，点P，Q在A₁C上，点R，S在BC₁上，且四面体PQRS为正四面体，则该正四面体棱长为

 

．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：首先建立空间直角坐标系证明异面直线AC₁和B₁C垂直，进一步求出该异面直线间的距离，最后利用正四面体的性质求出相关的结论及正四面体的边长．

解答： 解：设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长为

2

2

a，
可利用空间直角坐标系：D-XYZ，
则：D（0，0，0），C(0，

a

2

，0)，B(

3

2

a，0，0)，B1(

3

2

a，0，

2

2

a)，A(0，-

a

2

，0)，C1(0，

a

2

，

2

2

a)，
利用向量的数量积解得：

AC1

•

B1C

=0，
所以异面直线AC₁和B₁C垂直，
且AC₁和B₁C距离为：中点的连线，
根据中位线定理得：距离长为

a

2

，
点P，Q在A₁C上，点R，S在BC₁上，且四面体PQRS为正四面体，
根据四面体得到：MN是异面直线PS和QR之间的距离．
即异面直线AC₁和B₁C之间的距离．
设正四面体的边长为：RS=x，
进一步解得：MR=

3

2

x，MS=

1

2

x，
利用勾股定理解得：MN=

2

2

x，
令：

2

2

x=

a

2

，
所以：x=

2

2

a，
即正四面体的边长为：

2

2

a，
故答案为：

2

2

a．

点评：本题考查的知识点：正三棱柱与正四面体的性质，异面直线间的距离，空间直角坐标系的应用，向量垂直的充要条件及相关的运算问题．