Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹．
（1）证明：数列{

an

2n

}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设b_n=

an

4n

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证1≤T＜3．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的前n项和

专题：证明题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，再写一式，两式相减，即可证明数列{

an

2n

}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）b_n=

an

4n

=（n+1）•2^-n，利用错位相减法求和，即可证明结论．

解答： 证明：（1）n=1时，a₁=4；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n=2a_n-1+2ⁿ，
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，
∴数列{

an

2n

}是首项为2，公差为1的等差数列，
∴

an

2n

=n+1，
∴a_n=（n+1）•2ⁿ；
（Ⅱ）b_n=

an

4n

=（n+1）•2^-n，
∴T_n=2•

1

2

+3•

1

22

+…+（n+1）•

1

2n

，
∴

1

2

T_n=2•

1

22

+…+n•

1

2n

+（n+1）•

1

2n+1

，
两式相减，

1

2

T_n=1+

1

22

+…+

1

2n

-（n+1）•

1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

∴T_n=3-

n+3

2n

，
∵y=

n+3

2n

单调递减，T_n=3-

n+3

2n

单调递增，n=1时，T_n=1，n→+∞时，T_n→3，
∴1≤T_n＜3．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．