Question

已知直线l：2x-y+1=0与曲线C：y=mx²
（1）若只有一个交点，求实数m的值；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=2

10

，求实数m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由

2x-y+1=0 y=mx2

，得：mx²-2x-1=0，由此利用分类讨论思想能求出实数m的值．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知得

m≠0 △=4+4m＞0 x1+x2=- 2 m x1x2=- 1 m

，再由弦长公式能求出实数m的值．

解答： 解：（1）由

2x-y+1=0 y=mx2

，消y，得：mx²-2x-1=0，
∵直线l：2x-y+1=0与曲线C：y=mx²只有一个交点，
∴m=0或

m≠0 △=4+4m=0

，
解得m=0或m=-1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

2x-y+1=0 y=mx2

，消y，得：mx²-2x-1=0，
∵直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=2

10

，
∴

m≠0 △=4+4m＞0 x1+x2=- 2 m x1x2=- 1 m

，
|AB|=

1+4

|x1-x2|=

5

4+4m

|m|

=2

10

，
∴2m²-m-1=0，整理，得（m-1）（2m+1）=0，
解得m=1或m=-

1

4

，
∵m∈（-1，0）∪（0，+∞），
∴m=1或m=-

1

4

．

点评：本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质和弦长公式的合理运用．