题目内容
已知函数f（x）的定义域R，当x＞0时，f（x）＞1，且对于任意的a，b∈R，恒有f（a+b）=f（a）×f（b），
（1）求f（0）的值；
（2）求证：当x＜0时，0＜f（x）＜1；
（3）求证：f（x）在区间（-∞，+∞）上是增函数．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：当x＜0时，0＜f（x）＜1；
（3）求证：f（x）在区间（-∞，+∞）上是增函数．
考点：抽象函数及其应用
专题：函数的性质及应用
分析：（1）令a=1，b=0，f（1）=f（1）f（0），进而得到f（0）=1
（2）由已知中：当x＞0时，f（x）＞1，可得x＞0时，-x＜0，令y=-x，可由（1）的结论，证得0＜f（x）＜1；
（3）设x1，x2∈R，且x1＜x2，结合当x＜0时，0＜f（x）＜1，可得f（x1）＜f（x2），进而根据函数单调性的定义，可得函数f（x）在R上的单调性．
（2）由已知中：当x＞0时，f（x）＞1，可得x＞0时，-x＜0，令y=-x，可由（1）的结论，证得0＜f（x）＜1；
（3）设x1，x2∈R，且x1＜x2，结合当x＜0时，0＜f（x）＜1，可得f（x1）＜f（x2），进而根据函数单调性的定义，可得函数f（x）在R上的单调性．
解答：
（1）解：令a=1，b=0，得f（1）=f（1）f（0），
∵x＞0时，f（x）＞1，
∴f（0）＞0，
∴f（0）=1；
（2证明：令x＜0，则-x＞0，令y=-x，
得f（0）=f（x）f（-x），
得f（x）=
，
∵f（-x）＞1，
∴0＜f（x）＜1，
故当x＜0时，0＜f（x）＜1；
（3）证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则x1-x2＜0，∴0＜f（x1-x2）＜1，
∴f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）f（x2）＜f（x2），
∴函数f（x）在R上是单调递增函数．
∵x＞0时，f（x）＞1，
∴f（0）＞0，
∴f（0）=1；
（2证明：令x＜0，则-x＞0，令y=-x，
得f（0）=f（x）f（-x），
得f（x）=
| 1 |
| f(-x) |
∵f（-x）＞1，
∴0＜f（x）＜1，
故当x＜0时，0＜f（x）＜1；
（3）证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则x1-x2＜0，∴0＜f（x1-x2）＜1，
∴f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）f（x2）＜f（x2），
∴函数f（x）在R上是单调递增函数．
点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的奇偶性与函数的单调性，函数恒成立问题，函数函数图象和性质的综合应用，难度中档．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
，若f（-x）=2，则x=（ ）
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A、-
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B、-
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C、
| ||
D、
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设x≥4，则y=
的最小值是（ ）
| x2+x-5 |
| x-2 |
| A、7 | ||
| B、8 | ||
C、
| ||
| D、15 |