Question

10．已知函数f（x）=cos²x+a|sinx|+$\frac{1}{4}$a-$\frac{3}{2}$的最大值为1．求实数a的值．

Answer 1

分析 通过平方关系，利用合换元法和配方法得f（t）=-t²+at+$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$，对a分类讨论，结合函数的最值，即可求出a的值．

解答 解：函数f（x）=cos²x+a|sinx|+$\frac{1}{4}$a-$\frac{3}{2}$
=1-sin²x+a|sinx|+$\frac{1}{4}$a-$\frac{3}{2}$
=-${（|sinx|-\frac{a}{2}）}^{2}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$，
设|sinx|=t，
则y=f（t）=-t²+at+$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$，t∈[0，1]，对称轴为t=$\frac{a}{2}$；
当$\frac{a}{2}$＜0，即a＜0时，y_max=f（0）=$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$=1，a=6（舍去）；
当0≤$\frac{a}{2}$≤1，即0≤a≤2时，y_max=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$=1，此时a=2或a=-3（舍去）；
当$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2时，y_max=f（1）=$\frac{5}{4}$a-$\frac{3}{2}$=1，解得a=2（舍去）；
综上，实数a=2．

点评 本题考查了三角函数的最值的应用问题，也考查分类讨论思想，配方法、换元法的应用问题，注意三角函数的有界性，是解题的关键．