Question

2．若f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，其中ω∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知x∈[-$\frac{π}{2}$，π]，求f（x）的增区间．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的对称性求出ω的值即可得到结论．
（2）根据三角函数的单调递增的性质进行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，
∴2ω•$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
解得ω=3k+2，（k∈Z）．
又∵ω∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）．
∴k=0，ω=2，
∴f（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，π]，
∴当k=-1时，-$\frac{7π}{12}$≤x≤-$\frac{5π}{12}$，此时，-$\frac{π}{2}$≤x≤-$\frac{5π}{12}$，
当k=0时，-$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{π}{12}$，
当k=1时，$\frac{5π}{12}$≤x≤$\frac{7π}{12}$，
当k=2时，$\frac{11π}{12}$≤x≤$\frac{13π}{12}$，此时$\frac{11π}{12}$≤x≤π，
即函数的单调递增区间为，[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{5π}{12}$]，[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{12}$]，[$\frac{5π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]，[$\frac{11π}{12}$，π]．

点评 本题主要考查三角函数解析式以及三角函数单调性和单调区间的求解，根据三角函数的对称性求出ω的值以及三角函数的解析式是解决本题的关键．