Question

设椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为

3

3

，过点C（-1，0）的直线交椭圆E于A，B两点，且

CA

=2

BC

，求当△AOB面积达到最大时的直线和椭圆的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线l：x=ky-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

CA

=2

BC

，C（-1，0），知2y₂+y₁=0，由直线方程和椭圆方程，消去x，得到（2k²+3）y²-4ky+2-3b²=0，再利用韦达定理，求出y₁，y₂，再由三角形的面积公式运用基本不等式求出最大值，以及等号成立的条件，即可得到直线方程，再由y₁y₂，求出b²，即可求出椭圆方程．

解答： 解：设直线l：x=ky-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由于

CA

=2

BC

，C（-1，0），
则（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），
即2y₂+y₁=0，①
由于离心率为

3

3

，则c²=

1

3

a²，则a²=

3

2

b²，
则椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，即为：2x²+3y²=3b²，
联立直线l和椭圆方程，消去x，得（2k²+3）y²-4ky+2-3b²=0，
则y₁+y₂=

4k

2k2+3

②，y₁y₂=

2-3b2

2k2+3

，③
由①②得，y₁=

8k

2k2+3

，y₂=

-4k

2k2+3

，
由于S_△AOB=

1

2

|y₁|+

1

2

|y₂|=

1

2

|y₁-y₂|=

6|k|

2k2+3

=6•

1

2|k|+ 3 |k|

≤

6

2 6

=

6

2

．
当且仅当k²=

3

2

即k=±

6

2

时，取最大值．
此时直线l：x=

6

2

y-1或x=-

6

2

y-1．
当k²=

3

2

时，y₁y₂=

-32k2

(2k2+3)2

=-

4

3

，
由③，可得b²=

10

3

，
则椭圆方程为2x²+3y²=10，即有

x2

5

+

y2

10 3

=1．
故当△AOB面积达到最大时的直线方程为x-

6

2

y+1=0或x+

6

2

y+1=0．
椭圆的方程为：

x2

5

+

y2

10 3

=1．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查联立椭圆方程和直线方程，消去未知数，运用韦达定理，考查向量的坐标运算和基本不等式的运用：求最值，注意等号成立的条件，属于中档题．