Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3且a_n+1=2S_n+3；数列{b_n}为等差数列，且公差d＞0，b₁+b₂+b₃=15．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若

a1

3

+b₁，

a2

3

+b₂，

a3

3

+b₃成等比数列，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）通过a_n+1-a_n=（2S_n+3）-（2S_n-1+3）=2a_n．利用等比数列的定义判断{a_n}是公比为3的等比数列．
（2）由题意可求得T_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n，利用裂项法求和，即可得出证明．

解答： 解：（1）当n≥2时，a_n+1-a_n=（2S_n+3）-（2S_n-1+3）=2a_n．
∴a_n+1=3a_n，即

an+1

an

=3，
又 a₂=2S₁+3=9=3a₁  
∴{a_n}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴a_n=3ⁿ；
（2）设{b_n}的公差为d（d＞0），∵T₃=15，∴b₂=5，
依题意

a1

3

+b₁，

a2

3

+b₂，

a3

3

+b₃成等比数列，有（

a2

3

+b₂）²=（

a1

3

+b₁）（

a3

3

+b₃），
∴64=（5-d+1）（5+d+9）
d²+8d-20=0，得d=2，或d=-10（舍去），
∴b₁=5-2=3
∴T_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n．
∴

1

Tn

=

1

n2+2n

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

）＜

3

4

．

点评：本题考查等差数列，等比数列的性质，等差数列的前n项和，等比关系的确定的应用，考查学生利用裂项相消法求数列的和及计算能力，属于中档题．