Question

已知函数f（x）=

x+a

x+b

（a、b为常数）
（1）若b=1，解不等式f（x-1）＜0；
（2）若a=1，当x∈[-1，2]时，f（x）＞

-1

(x+b)2

恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）把b=1代入函数解析式，求出f（x-1），分a＜1、a=1、a＞1直接求解不等式f（x-1）＜0得答案；
（2）把a=1代入f（x）的解析式，把不等式f（x）＞

-1

(x+b)2

恒成立转化为不等式（x+b）（x+1）＞-1成立，分离参数b后利用基本不等式求最值，则b的取值范围可求．

解答： 解析：（1）∵f(x)=

x+a

x+b

，b=1，
∴f(x)=

x+a

x+1

，
∴f(x-1)=

(x-1)+a

(x-1)+1

=

x-1+a

x

，
∵f（x-1）＜0，
∴

x-1+a

x

＜0，等价于x[x-（1-a）]＜0，
①当1-a＞0，即a＜1时，不等式的解集为：（0，1-a），
②当1-a=0，即a=1时，不等式的解集为：x∈∅，
③当1-a＜0，即a＞1时，不等式的解集为：（1-a，0），
（2）∵a=1，f(x)＞

-1

(x+b)2

，
∴

x+1

x+b

＞

-1

(x+b)2

等价于（x+b）（x+1）＞-1．
显然x≠-b，且当x=-1时不等式（x+b）（x+1）＞-1成立．
由x∈[-1，2]时不等式恒成立，得
b＞-

1

x+1

-x=1-(

1

x+1

+x+1)，
∵x+1＞0，
∴

1

x+1

+(x+1)≥2

1 x+1 •(x+1)

=2．
故b＞-1．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了分离参数法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．