题目内容
12．已知甲、乙两个容器，甲容器容量为x，装满纯酒精，乙容器容量为z，其中装有体积为y的水（x，y＜z，单位：L）．现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计．设经过n（n∈N*）次操作之后，乙容器中含有纯酒精an（单位：L），下列关于数，列{an}的说法正确的是（ ）| A． | 当x=y=a时，数列{an}有最大值$\frac{a}{2}$ | |
| B． | 设bn=an+1-an（n∈N*），则数列{bn}为递减数列 | |
| C． | 对任意的n∈N*，始终有${a_n}≤\frac{xy}{z}$ | |
| D． | 对任意的n∈N*，都有${a_n}≤\frac{xy}{x+y}$ |
分析 对x，y，z的大小关系进行讨论，得出剩余酒精浓度变化，得出结论．
解答 解：对于A，若x+y＞z，每次倾倒后甲容器都有剩余，故an＜$\frac{a}{2}$，故A错误；
对于B，若x+y=z，则每次操作后乙容器所含酒精都为$\frac{x}{2}$，故B错误；
对于C，若x=1，y=1，z=3，则a1=$\frac{1}{2}$，$\frac{xy}{z}$=$\frac{1}{3}$，故a1＞$\frac{xy}{z}$，故C错误；
对于D，当n→+∞时，甲乙两容器浓度趋于相等，当x+y≤z时，an=$\frac{xy}{x+y}$，
当x+y＞z时，an＜$\frac{xy}{x+y}$，故D正确．
故选D．
点评 本题考查了数列的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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6．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为60°，则直线l2的倾斜角为（ ）
| A． | 60° | B． | 120° | C． | 30° | D． | 150° |
3．已知数列{an}（n∈N*）满足an+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，n为奇数}\\{{a}_{n}+1，n为偶数}\end{array}\right.$，设Sn是数列{an}的前n项和，若S5=-20，则a1的值为（ ）
| A． | -$\frac{23}{9}$ | B． | -$\frac{20}{31}$ | C． | -6 | D． | -2 |