Question

7．设A={（x，y）|x²-a（2x+y）+4a²=0}，B={（x，y）||y|≥b|x|}，对任意实数a，均有A⊆B成立，则实数b的最大值为2．

Answer 1

分析 用x表示出y，利用基本不等式计算$\frac{|y|}{|x|}$的最小值，即可得出b的最大值．

解答 解：由x²-a（2x+y）+4a²=0得：y=$\frac{1}{a}$x²-2x+4a，
则$\frac{|y|}{|x|}$=|$\frac{x}{a}+\frac{4a}{x}-2$|，
当ax＞0时，$\frac{x}{a}+\frac{4a}{x}$≥2$\sqrt{4}$=4，∴|$\frac{x}{a}+\frac{4a}{x}-2$|≥|4-2|=2，即$\frac{|y|}{|x|}$≥2，
当ax＜0时，$\frac{x}{a}+\frac{4a}{x}$≤-2$\sqrt{4}$=-4，∴|$\frac{x}{a}+\frac{4a}{x}-2$|≥|-4-2|=6，即$\frac{|y|}{|x|}$≥6，
∵对任意实数a，均有A⊆B成立，即||y|≥b|x|恒成立，即$\frac{|y|}{|x|}$≥b恒成立，
∴b≤2，
故答案为2．

点评 本题考查了集合的包含关系，不等式的性质，属于中档题．