Question

已知函数f（x）=

x

x+1

，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求证：数列{

1

an

}是等差数列；
（2）设b_n=a_na_n+1，记数列{b_n}的前n项和为s_n，求证：

1

2

≤sn＜1．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）构造等差数列求解．
（2）利用裂项法，放缩求解，结合函数单调性．

解答： 解；（1）∵a_n+1=f（a_n）=

an

an+1

，
∴

1

an+1

=1+

1

an

，
即

1

an+1

-

1

an

=1，又

1

a1

=1
∴数列{

1

an

}是以1为首项，以1为公差的等差数列．
（2）∵（1）得

1

an

=1+（n-1）×1=n，∴a_n=

1

n

∵b_n=a_na_n+1，∴b_n=

1

n×(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1
又知{S_n}为递增数列，∴S_n≥S₁=b₁=

1

1×2

=

1

2

∴

1

2

≤Sn＜1

点评：本题考察了等差数列的性质，裂项求和，放缩的技巧，要求能力较强．