Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，PD⊥底面ABCD．
（1）求证：△PAB≌△PCB；
（2）求证：AC⊥PB；
（3）若PD=2

2

，AB=

5

，二面角A-BP-C为120°，求四菱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）四棱锥P-ABCD的底面为菱形，PD⊥底面ABCD，可得PA=PC，AB=AC，即可证明：△PAB≌△PCB；
（2）证明：AC⊥平面PDB，即可证明AC⊥PB；
（3）若PD=2

2

，AB=

5

，二面角A-BP-C为120°，求出ABCD的面积，即可求出体积．

解答： （1）证明：∵四棱锥P-ABCD的底面为菱形，PD⊥底面ABCD，
∴PA=PC，AB=AC，
∵PB=PB，
∴△PAB≌△PCB；
（2）证明：∵四棱锥P-ABCD的底面为菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC⊥PD，BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PDB，
∵PB?平面PDB，
∴AC⊥PB；
（3）解：作AE⊥PB，连接CE，则CE⊥PB，
∴∠AEC=120°，
∵PD=2

2

，AB=

5

，
∴PA=

13

，PB=3

2

，
∴AE=

65

3 2

，
∴由余弦定理可得AC=

65 18 + 65 18 -2• 65 18 •(- 1 2

)=

65 6

，
∴cos∠ABC=

5+5- 65 6

2• 5 • 5

=-

1

12

，
∴sin∠ABC=

143

12

，
∴S_ABCD=

5 143

12

，
∴四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

•

5 143

12

•2

2

=

5 286

18

．

点评：本题考查三角形全等的证明，考查线面垂直，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．