Question

已知抛物线x²=ay（a＞0），点O为坐标原点，斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点．
（1）若直线过点D（0，2）且a=4，求△AOB的面积；
（2）若直线过抛物线的焦点且

OA

•

OB

=-3，求抛物线的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）斜率为1的直线方程为y=x+2，代入抛物线方程，即可求△AOB的面积；
（2）直线方程为y=x+

a

4

代入抛物线方程，利用韦达定理，结合

OA

•

OB

=-3，即可求抛物线的方程．

解答： 解：（1）斜率为1的直线方程为y=x+2，
代入抛物线方程可化为x²-4x-8=0，∴x=2±2

3

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴S_△AOB=

1

2

|DO|•|x₁-x₂|=4

3

；
（2）直线方程为y=x+

a

4

代入抛物线方程可化为x²-ax-

a2

4

=0，
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=-

a2

4

．
∴y₁y₂=（x₁+

a

4

）（x₂+

a

4

）=x₁x₂+

a

4

（x₁+x₂）+

a2

16

=

a2

16

．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-

a2

4

+

a2

16

=-3
∵a＞0，
∴a=4，
∴抛物线的方程为x²=4y．

点评：本题考查了直线与抛物线的相交问题转化为方程联立可得根与系数、数量积运算、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．