Question

已知y=f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，x∈[0，1]时，f（x）=

4x+a

4x+1

．
（1）求x∈[-1，0）时，y=f（x）解析式；
（2）解不等式f（x）＞

1

5

．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由奇函数可得f（0）=0，解得a=-1，当x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]，代入已知式子，由函数的奇偶性可得；
（2）由（1）知f（x）=

4x-1

4x+1

，x∈[-1，1]，不等式可化为

4x-1

4x+1

＞

1

5

，由对数函数的知识可解．

解答： 解：（1）∵y=f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（0）=0，解得a=-1，
当x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]，
∴f（-x）=

4-x-1

4-x+1

=

1-4x

1+4x

，
∵函数为奇函数，∴-f（x）=f（-x）=

1-4x

1+4x

，
∴f（x）=-

1-4x

1+4x

=

4x-1

4x+1

（2）由（1）知f（x）=

4x-1

4x+1

，x∈[-1，1]，
∴

4x-1

4x+1

＞

1

5

，变形可得4^x＞

3

2

解得x∈（log₄

3

2

，1]．
∴不等式f（x）＞

1

5

的解集是（log₄

3

2

，1]．

点评：本题考查函数解析式的求解，涉及函数的奇偶性和对数函数，属基础题．