Question

函数f（x）=（m-4）x³+10x在[1，2]上最大值为4，则实数m=

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先求出函数的导数，从而得出函数的单调区间，得到f（x）_max=f（2）=4，解出即可．

解答： 解：∵f′（x）=3（m-4）x²+10，
①m-4=0，即m=4时，f′（x）=10＞0，
∴f（x）_max=f（2）=20≠4，不合题意；
②m-4＞0，即m＞4时：f′（x）＞0，
∴f（x）在[1，2]递增，
∴f（x）_max=f（2）=8（m-4）+20=4，解得：m=-2（舍），
③m-4＜0时，令g（x）=3（m-4）x²+10，g（x）在（0，+∞）递减，
若在[1，2]上，g（x）＞0，则g（2）=12（m-4）+10＞0，解得：m＞

19

6

，
∴

19

6

＜m＜4时，g（x）在[1，2]上的最小值为g（2）＞0，
即f′（x）＞0，同②得：m=-2不合题意，
若在[1，2]上，g（x）＜0，则g（1）=3（m-4）+10＜0，解得：m＜

2

3

，
∴m＜

2

3

时，g（x）在[1，2]上的最大值为g（1）＜0，
即f′（x）＜0，∴f（x）在[1，2]递减，
∴f（x）_max=f（1）=m-4+10=4，解得：m=-2，

2

3

＜m＜

19

6

时，g（1）＞0，g（2）＜0，
令g（x）=0，解得：x=

30(4-m)

3(4-m)

，
∴在[1，

30(4-m)

3(4-m)

）上，g（x）＞0，f（x）递增，
在[

30(4-m)

3(4-m)

，2]上，g（x）＜0，f（x）递减，
∴f（x）在[1，2]上的最大值是f（

30(4-m)

4-m

）=4，
解得：m=4，m=746，不合题意，
综上：m=-2．
故答案为：-2．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，考查分类讨论思想，是一道中档题．