Question

8．抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，圆M与y轴相切，过原点O作倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线m，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且|AO|=|BO|=2，若P为抛物线C上的动点，则$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PF}$的最小值为（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． $\frac{7}{4}$
• D． 3

Answer 1

分析 求出p的值，从而求出抛物线方程，求出圆心和半径可求出⊙M的方程，表示出$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PF}$，然后根据点在抛物线上将y消去，求关于x 的二次函数的最小值即可；

解答 解：因为$\frac{p}{2}$=OA•cos$\frac{π}{3}$=2×$\frac{1}{2}$=1，即p=2，所以抛物线C的方程为y²=4x，
设⊙M的半径为r，则$\frac{OB}{2}•\frac{1}{cos\frac{π}{3}}$=2，所以⊙M的方程为（x-2）²+y²=4
设P（x，y）（x≥0），则$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PF}$=x²-3x+2+y²=x²+x+2，
所以当x=0时，有最小值为2
故选：B

点评 本题主要考查了圆的方程和抛物线方程，以及向量数量积的最值，属于中档题．