Question

18．已知数列{a_n}满足：${a_1}=1，{a_2}=2，{a_{n+2}}={a_{n+1}}-{a_n}（n∈{N^*}）$，函数f（x）=ax³+btanx，若f（a₄）=9，则f（a₁）+f（a₂₀₁₇）的值是-18．

Answer 1

分析 函数f（x）=ax³+btanx，可得f（-x）+f（x）=0．由${a_1}=1，{a_2}=2，{a_{n+2}}={a_{n+1}}-{a_n}（n∈{N^*}）$，可得：a_n+6=a_n．即可得出．

解答 解：∵函数f（x）=ax³+btanx，∴f（-x）+f（x）=-ax³-btanx+ax³+btanx=0．
∵${a_1}=1，{a_2}=2，{a_{n+2}}={a_{n+1}}-{a_n}（n∈{N^*}）$，∴a₃=2-1=1，
同理可得a₄=-1，a₅=-2，a₆=-1，a₇=1，a₈=1，…．
∴a_n+6=a_n．
∴a₂₀₁₇=a_6×336+1=a₁．
若f（a₄）=9，∴f（-1）=9．∴f（1）=-9
则f（a₁）+f（a₂₀₁₇）=2f（a₁）=-18．
故答案为：-18．

点评 本题考查了函数的奇偶性、数列的周期性、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．