题目内容

19．如图，△PAB的顶点A、B为定点，P为动点，其内切圆O1与AB、PA、PB分别相切于点C、E、F，且$AB=2\sqrt{3}$，||AC|-|BC||=2．
（1）求||PA|-|PB||的值；
（2）建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹W的方程；
（3）设l是既不与AB平行也不与AB垂直的直线，线段AB的中点O到直线l的距离为 $\sqrt{2}$，直线l与曲线W相交于不同的两点G、H，点M满足$2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OH}$，证明：$2|\overrightarrow{OM}|=|\overrightarrow{GH}|$．

分析 （1）根据平面几何的知识可得∴||PA|-|PB||=||AC|-|BC||=2；
（2）以点O为坐标原点，线段AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，故由双曲线的定义，知动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的部分，问题得以解决；
（3）设直线l：y=kx+b，k≠0，联立方程组，消y，根据根与系数的关系可得，x1x2=-$\frac{{b}^{2}+2}{2-{k}^{2}}$，x1+x2=$\frac{2kb}{2-{k}^{2}}$，再根据向量的数量积公式可得$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{OH}$=-2k2+b2-2，再根据点到直线的距离公式可得2k2+2=b2，即可证明$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{OH}$=0，由$2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OH}$，即可证明结论成立．

解答 解：（1）根据切线长定理可得|PE|=|PF|，|AE|=|AC|．|BF|=|BC|，
∴||PA|-|PB||=||PE|+|AE|-|PF|-|BF||=||AC|-|BC||=2；
（2）以点O为坐标原点，线段AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，
由（1）可知||PA|-|PB||=2＜|AB|=2$\sqrt{3}$，
∴由双曲线的定义，知动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的部分，
∵2a=2，2c=2$\sqrt{3}$，
∴动点P的轨迹W的方程x2-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，（y≠0）；
（3）证明：设直线l：y=kx+b，k≠0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{2{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（2-k2）x2-2kbx-b2-2=0，
由题意有k2≠2，△=b2-k2+2＞0，x1x2=-$\frac{{b}^{2}+2}{2-{k}^{2}}$，x1+x2=$\frac{2kb}{2-{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{OH}$=x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=-2k2+b2-2，
又d=$\sqrt{2}$=$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴2k2+2=b2，
∴$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{OH}$=0，
∵$2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OH}$，
∴$2|\overrightarrow{OM}|=|\overrightarrow{GH}|$．

点评 本题考查了双曲线的方程的求法和直线和双曲线的位置关系，以及向量的数量积和点到直线的距离公式，属于中档题．

练习册系列答案
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9．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C1的极坐标方程是ρ2+2ρcosθ=0，圆C2的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=-1+sinα}\end{array}\right.$（α是参数）．
（Ⅰ）求C1和C2的交点的极坐标；
（Ⅱ）直线l经过C1和C2的交点，且垂直于公共弦，求直线l的极坐标方程．
10．设F1、F2分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2的直线交双曲线右支于A、B两点．若AF2⊥AF1，且|BF2|=2|AF1|，则双曲线的离心率为（　　）
A．$\frac{\sqrt{17}}{3}$B．$\frac{\sqrt{10}}{2}$C．$\sqrt{13}$D．$\frac{\sqrt{58}}{4}$
7．已知点P为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，使（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）=0（O为坐标原点），且|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，则双曲线离心率为（　　）
A．$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$B．$\sqrt{6}$+1C．$\sqrt{3}$+1D．$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
14．抛物线x=4y2的焦点坐标是  （　　）
A．（$\frac{1}{16}$，0）B．（1，0）C．（0，$\frac{1}{16}$）D．（0，1 ）
4．下列各命题是真命题的是（　　）
A．如果a＞b，那么$\frac{a}{c}$＞$\frac{b}{c}$B．如果ac＜bc，那么a＜b
C．如果a＞b，c＞d，那么a-c＞b-dD．如果a＞b，那么a-c＞b-c
11．已知命题p：?x0∈R，lnx0≥x0-1．命题q：?θ∈R，sinθ+cosθ＞-1．则下列命题中为真命题的是（　　）
A．p∧（?q）B．（?p）∨qC．（?p）∧（?q）D．p∧q
8．抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，圆M与y轴相切，过原点O作倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线m，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且|AO|=|BO|=2，若P为抛物线C上的动点，则$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PF}$的最小值为（　　）
A．-2B．2C．$\frac{7}{4}$D．3
9．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$，cos（2π-α）-sin（π-α）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$
（1）求sinα+cosα的值；
（2）求$\frac{{{{cos}^2}（\frac{3π}{2}+α）+2cosαcos（\frac{π}{2}-α）}}{{1+{{sin}^2}（\frac{π}{2}-α）}}$的值．

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