Question

13．已知△ABC的三角为A，B，C对应的边为A，B，C满足2acosC=2b+c，
（1）求A
（2）若a=2$\sqrt{3}$，b+c=4，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知等式，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式得到关系式，联立后根据sinC不为0求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，由sinA与bc的值，利用三角形的面积公式求出即可．

解答 解：（1）∵2acosC=2b+c，由正弦定理可知2sinAcosC=2sinB+sinC，①
三角形中有：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，②
联立①②可化简得：2cosAsinC+sinC=0，
在三角形中sinC≠0，得cosA=-$\frac{1}{2}$，
又0＜A＜π，
∴A=$\frac{2π}{3}$；
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA，得（2$\sqrt{3}$）²=（b+c）²-2bc-2bccos$\frac{2π}{3}$，即12=16-2bc+bc，
解得：bc=4，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．