Question

已知f（x）=-xⁿ+cx，f（2）=-14，f（4）=-252，若函数y=log

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f（x）的定义域为（0，1），试判断其在区间（

3 2

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，1）上的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：先求出n，c的值，任取x₁，x₂，使

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＜x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）＞0，从而判断出其在区间（

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，1）上的单调性．

解答： 解：由题意，有

f(2)=-2n+2c=-14 f(4)=-4n+4c=-252

，
解得n=4，c=1，
∴f（x）=-x⁴+x．
任取x₁，x₂，使

3 2

2

＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂），
=-x12+x₁-（-x22+x₂），
=（x₁-x₂）[1-（x₁+x₂）•（x12+x22）]．
∵x₁+x₂＞

3	2

，x12+x22＞

3 4

2

，
∴（x₁+x₂）（x12+x22）＞

3	2

×

3 4

2

=1．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x）在区间（

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，1）上单调递减．
又∵0＜

2

2

＜1，
∴y=log

2

2

f（x）在区间（

3 2

2

，1）上单调递增．

点评：本题考查了函数的单调性的判断及证明，考查计算能力，是一道中档题．