Question

在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，三角形CDE是等边三角形，棱EF∥BC且EF=

1

2

BC=2．求证：FO∥平面CDE．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：证法一：要证明FO∥平面CDE，在平面CDE中：取CD中点M，连接OM．证明FO∥EM即可；
证法二：取BC中点G，连接OG，并延长GO交AD于H，连接FH，证明面FGH∥面CDE即可；

解答： （1）证法一：

取CD中点M，连接OM，EM，
在矩形ABCD中，OM∥BC且OM=

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2

BC，
又EF∥BC且EF=

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2

BC，则EF∥OM且EF=OM．
所以四边形EFOM为平行四边形，所以FO∥EM．
又因为FO?平面CDE，且EM?平面CDE，
所以FO∥平面CDE．…（12分）
证法二
取BC中点G，连接OG，并延长GO交AD于H，连接FH
在矩形ABCD中，
OG∥CD，
且CD?面CDE，OG?面CDE
OG∥面CDE
又EF∥BC且EF=

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2

BC，则EF∥GC且EF=GC．
所以四边形EFGC为平行四边形，所以FG∥EC．
又因为FG?平面CDE，且EC?平面CDE，
所以FG∥平面CDE．∵FG∩GO=O，FG?面FGH，GO?面FGH∴面FGH∥面CDE，∵OF?面FGH∴OF∥面CDE

点评：本题考查直线与平面平行、平面与平面平行等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．