Question

20．已知命题p：实数x满足x²-5ax+4a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-8≤0}\\{{x}^{2}+3x-10＞0}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）命题p：实数x满足x²-5ax+4a²＜0，解集A=（a，4a）．命题q：实数x满足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-8≤0}\\{{x}^{2}+3x-10＞0}\end{array}\right.$，解集B=（2，4]．
a=1，且p∧q为真，求A∩B即可得出．
（Ⅱ）￢p：（-∞，a]∪[4a，+∞）．￢q：（-∞，2]∪（4，+∞）．利用￢p是￢q的充分不必要条件，即可得出．

解答 解：（I）命题p：实数x满足x²-5ax+4a²＜0，其中a＞0，a＜x＜4a，解集A=（a，4a）．
命题q：实数x满足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-8≤0}\\{{x}^{2}+3x-10＞0}\end{array}\right.$，解得2＜x≤4．解集B=（2，4]．
a=1，且p∧q为真，则A∩B=（1，4）∩（2，4]=（2，4）．
∴实数x的取值范围是（2，4）．
（Ⅱ）￢p：（-∞，a]∪[4a，+∞）．
￢q：（-∞，2]∪（4，+∞）．
若￢p是￢q的充分不必要条件，则$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{4a≥4}\end{array}\right.$，解得1≤a≤2．
∴实数a的取值范围是[1，2]．

点评 本题考查了不等式的解法、充要条件的判定、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．