Question

11．已知函数f（x）=$\frac{x}{x+2}$-ax²，其中a∈R．
（1）若a=1时，求函数f（x）的零点；
（2）当a＞0时，求证：函数f（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，函数f（x）=$\frac{x}{x+2}$-x²，令$\frac{x}{x+2}$-x²=0，可得函数f（x）的零点．
（2）当a＞0时，若x＞0，由函数f（x）=0得：ax²+2ax-1=0，进而可证得f（x）在（0，+∞）上有唯一零点．

解答 解：（1）当a=1时，函数f（x）=$\frac{x}{x+2}$-x²，
令$\frac{x}{x+2}$-x²=0，可得可得 x=0，或x²+2x-1=0，
解得 x=0，或x=-1-$\sqrt{2}$，或x=-1+$\sqrt{2}$．
综上可得，当a=1时，函数f（x）的零点为 x=0，或x=-1-$\sqrt{2}$，或x=-1+$\sqrt{2}$
（2）证明：∵当a＞0时，x＞0，由函数f（x）=0得：ax²+2ax-1=0，
记g（x）=ax²+2ax-1，
则g（x）的图象是开口朝上的抛物线，
由g（0）=-1＜0得：
函数g（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点．
∴函数f（x）在（0，+∞）上有唯一零点

点评 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，转化思想，二次函数的图象和性质，属于中档题．