Question

5．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（-x）=f（2+x），f（2）=1，则不等式f（x）＜e^x的解集为（　　）

• A． （-2，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求出函数的导数，求出g（0）=1，从而求出不等式的解集即可．

解答 解：∵f′（x）＜f（x），
∴f′（x）-f（x）＜0，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，
故g（x）在R递减，
而f（-x）=f（2+x），
则f（1-x）=f（1+x），f（x）关于x=1对称，
则f（2）=f（0）=1，
由f（x）＜e^x，得：g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1=g（0），
解得：x＞0，
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．