Question

8．设函数f（x）=ax-2a+e^x（1-x），其中a＜1，若存在唯一整数x₀，使得f（x₀）＞0，则a的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{2}{3e}，1）$
• B． $[\frac{2}{3e}，\frac{1}{2}）$
• C． $（-\frac{2}{3e}，1）$
• D． $[-\frac{2}{3e}，\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 设g（x）=e^x（x-1），y=ax-2a，则存在唯一的整数x₀，使得g（x₀）在直线y=ax-2a的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=ax-2a+e^x（1-x），其中a＜1，
设g（x）=e^x（x-1），y=ax-2a，
∵存在唯一的整数x₀，使得f（x₀）＞0，
∴存在唯一的整数x₀，使得g（x₀）在直线y=ax-2a的下方，
∵g′（x）=xe^x，
∴当x＜0时，g′（x）＜0，
∴当x=0时，[g（x）]_min=g（0）=-1．
当x=0时，g（0）=-1，g（1）=e＞0，
直线y=ax-2a恒过（2，0），斜率为a，故-a＞g（0）=-1，
且g（-1）=-2e^-1≥-a-2a，解得a≥$\frac{2}{3e}$．-1＞-2a，解得a$＜\frac{1}{2}$
∴a的取值范围是[$\frac{2}{3e}$，$\frac{1}{2}$）．
故选：B．

点评 本题考查求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值问题，涉及转化的思想，属于中档题．