Question

9．近年来，食品安全越来越被广大民众所关注，有机蔬菜因其无污染、富营养和高质量等品质而受到大众喜爱．为了解某地区某种有机蔬菜的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和年利润z的影响，对近五年该有机蔬菜的年产量和价格统计如表：

x	3	1	2	4	5
y	5.5	6.5	6	3.7	2.3

（1）求y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$
（2）假设该有机蔬菜的成本为每吨2千元，并且可以全部卖出，预测年产量为多少吨时，年利润z取到最大值？（结果保留两位小数）
参考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）求出x，y的平均数，再求出$\widehat{b}$，$\widehat{a}$的值，求出回归方程即可；
（2）表示出年利润z，结合二次函数的性质求出z的最大值即可．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（3+1+2+4+5+5）=5，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（5.5+6.5+6+3.7+2.3）=4.8，
$\sum_{i=1}^{5}$x_i=15，$\sum_{i=1}^{5}$y_i=24，$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=61.3，$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=55，
代入公式得：$\widehat{b}$=-1.07，$\widehat{a}$=8.01，
故$\widehat{y}$=-1.07x+8.01；
（2）年利润z=x（-1.07x+8.01）-2x=-1.07x²+6.01x，
故x=2.81即年产量为x=2.81吨时，年利润z取最大值．

点评 本题考查了求回归方程问题，考查二次函数的性质，考查计算能力，是一道中档题．