题目内容
甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边AD之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，若CD=x千米，设总的水管费用为y元，如图所示，（Ⅰ）写出y关于x的函数表达式；
（Ⅱ）问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用
专题：导数的概念及应用
分析：（Ⅰ）先确定AC与BC的长，在根据水管费用即可建立总的水管费用函数解析式；
（Ⅱ）利用导数求出函数最值，即可确定供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省．
（Ⅱ）利用导数求出函数最值，即可确定供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省．
解答：
解：（Ⅰ）∵CD=x，BD=40，AC=50-x，
∴BC=
=
又总的水管费用为y元，
依题意有：y=3a（50-x）+5a
（0＜x＜50）
（Ⅱ）由（1）得y′=-3a+
，
令y′=0，解得x=30
y在（0，30）单调递减，在（30，50）单调递增上，
函数在x=30（km）处取得最小值，此时AC=50-x=20（km）
∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．
∴BC=
| BD2+CD2 |
| x2+402 |
又总的水管费用为y元，
依题意有：y=3a（50-x）+5a
| x2+402 |
（Ⅱ）由（1）得y′=-3a+
| 5ax | ||
|
令y′=0，解得x=30
y在（0，30）单调递减，在（30，50）单调递增上，
函数在x=30（km）处取得最小值，此时AC=50-x=20（km）
∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．
点评：本题考查导数在生活中优化问题的应用，属于中档题．
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