Question

已知函数f（x）=2sin

ωx

2

•cos

ωx

2

-2

3

cos²

ωx

2

+

3

（ω＞0），其图象与直线y=2的相邻两个公共点之间的距离为2π．
（Ⅰ）若x∈[0，π]，试求出函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）△ABC的三个内角A，B，C及其所对的边a，b，c满足条件：f（A）=0，a=2，且b，a，c成等比数列．试求

CA

在

CB

方向上的抽影n的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先，根据二倍角公式，化简函数解析式，然后，根据周期公式，确定解析式，最后，结合三角函数的单调性进行求解；
（Ⅱ）首先，根据f（A）=0，得到A=

π

3

，结合余弦定理求解b=c，最后，求解结果．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin

ωx

2

•cos

ωx

2

-2

3

cos²

ωx

2

+

3

=sinωx-

3

cosωx
=2sin（ωx-

π

3

），
∴f（x）=2sin（ωx-

π

3

），
∵图象与直线y=2的相邻两个公共点之间的距离为2π．
∴T=

2π

ω

=2π，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（x-

π

3

），
∵x∈[0，π]，
∴（x-

π

3

）∈[-

π

3

，

2π

3

]
∵（x-

π

3

）∈[

π

2

，

2π

3

，
∴x∈[

5π

6

，π]，
∴函数f（x）的单调递减区间[

5π

6

，π]．
（Ⅱ）根据（Ⅰ），得f（A）=2sin（A-

π

3

）=0，
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

，
∵b，a，c成等比数列．
∴a²=bc，
∵a²=b²+c²-2bccos

π

3

，
∴b=c，
∴B=C=

π

3

，
∴△ABC为等边三角形，
∴n=|

CA

|cosC=1．

点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式、二倍角公式、解三角形和平面向量等知识，考查比较综合，属于中档题．