Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=9-a_n，b_n=3-2log₃a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=

b n

a n

，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）证明：当n≥2时，a_2nb_n＜1．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）：由2S_n=9-a_n仿写出2S_n-1=9-a_n-1，两式相减得到an=

1

3

an-1(n≥2)，判定出数列{a_n}是以3为首项，

1

3

为公比的等比数列，利用公式求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由9Ⅰ）求出c_n=

b n

a n

=

1

9

(2n-1)×3n，利用错位相减求出数列{c_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）利用数列单调性的定义，判定出数列{a_2nb_n}为单调递减数列；求出数列的最大值为 a₂b₁，证明出不等式．

解答： 解（Ⅰ）：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=9-a_n①，
∴n≥2时，2S_n-1=9-a_n-1②，
①-②得2a_n=-a_n+a_n-1（n≥2），
∴an=

1

3

an-1(n≥2)
又∵n=1时2S₁=2a₁=9-a₁，
∴a₁=3
∴数列{a_n}是以3为首项，

1

3

为公比的等比数列，
∴an=3•(

1

3

)n-1=32-n；
b_n=3-2log₃a_n=2n-1，
∴{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴an=32-n，bn=2n-1
（Ⅱ）∵c_n=

b n

a n

=

1

9

(2n-1)×3n，
∴Tn=

1

9

[1×31+3×32+…+(2n-3)×3n-1+（2n-1）×3ⁿ]③
3Tn=

1

9

[1×32+3×33+…+(2n-3)×3n+（2n-1）×3ⁿ⁺¹]④
③-④得-2Tn=

1

9

[1×3+2(32+33+…+3n)-（2n-1）×3ⁿ⁺¹]
=

1

9

[3+

18(1-3n-1)

1-3

-(2n-1)×3n+1]
=

1

3

[(2-2n)3n-2]
∴Tn=(n-1)•3n-1+

1

3

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知a_2nb_n=9×(

1

3

)2n×(2n-1)
∵a_2（n+1）b_n+1-a_2nb_n=9(

1

3

)2n+2×(2n+1)-9(

1

3

)2n×(2n-1)=(

1

3

)2n(10-16n)＜0
∴数列{a_2nb_n}为单调递减数列；
∴当n≥2时，a_2nb_n＜a₂b₁=1即当n≥2时，a_2nb_n＜1．

点评：此题考查已知数列的递推关系求出数列的通项公式的知识点，属于中档题．准确运用等差、等比数列的通项与求和公式，利用错位相减法求和，是解决本题的关键．