Question

已知函数f（x）=xe^x（e为自然对数的底数）
（1）求函数在x=1处的切线方程；  
（2）若任意x∈R，f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出切点的坐标，然后求出x=1处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程即可求出切线方程．
（2）由题意可得，即求f（x）的最小值，利用导数先判断函数的单调性，求出最小值即得结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=xe^x
∴f′（x）=e^x+xe^x，∴f′（1）=2e，又f（1）=e，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-e=2e（x-1），即2ex-y-e=0．
（2）∵任意x∈R，f（x）＞m恒成立，
∴只要f（x）_min＞m即可，
令f′（x）＞0⇒x＞-1，即函数f（x）的单调递增区间是（-1，+∞）；
由f′（x）＜0⇒x＜-1，即函数f（x）的单调递减区间是（-∞，-1）；
∴当x=-1时，f（x）_min=f（-1）=0，
∴实数m的取值范围（-∞，0）．

点评：本题主要考查了实际问题中导数的意义，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查恒成立问题的等价转化能力及计算能力，属于中档题．