Question

9．设S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₃-a₁=3，$\frac{{S}_{n+1}-1}{{S}_{n}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=p（p＞0，n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n+（-1）ⁿlog₂a_n}的前2n项和．

Answer 1

分析 （1）令n=1时，求得a₁=1，a₃=4，可得S_n+1=2S_n+1，再把n换为n-1，两式相减，结合等比数列的通项公式，即可得到所求；
（2）求得a_n+（-1）ⁿlog₂a_n=2^n-1+（-1）ⁿ•（n-1），再由数列的求和方法：分组求和，可得所求和．

解答 解：（1）由题意可得$\frac{{S}_{2}-1}{{S}_{1}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$，
即有a₁+a₂-1=a₂，可得a₁=1，a₃=4，
又$\frac{{S}_{3}-1}{{S}_{2}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$，即为1+a₂+4-1=a₂（1+a₂），
解得a₂=2，（负的舍去），
则$\frac{{S}_{n+1}-1}{{S}_{n}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=p=2，即S_n+1=2S_n+1，
可得S_n=2S_n-1+1，
两式相减可得，a_n+1=2a_n，
则有a_n=2•2^n-2=2^n-1，对n=1也成立，
故a_n=2^n-1（n∈N^*）；
（2）a_n+（-1）ⁿlog₂a_n=2^n-1+（-1）ⁿ•（n-1），
前2n项和为S_2n=$\frac{1-{2}^{2n}}{1-2}$+（0+1）+（-2+3）+…+（2-2n+2n-1）
=2²ⁿ+n-1．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，以及等比数列的通项公式，考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．