Question

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$（a＞b＞0），直线y=x+$\sqrt{6}$与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴为半径的圆相切，F₁，F₂为其左右焦点，P为椭圆C上的任意一点，△F₁PF₂的重心为G，内心为I，且IG∥F₁F₂，则椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀），I（x₁，y₁），则G（$\frac{{x}_{0}}{3}$，$\frac{{y}_{0}}{3}$），由已知条件推导出a=2c，b=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{3}$，由此能求出椭圆方程．

解答 解：设P（x₀，y₀），I（x₁，y₁），则G（$\frac{{x}_{0}}{3}$，$\frac{{y}_{0}}{3}$）．
又IG∥F₁F₂，y_I=$\frac{{y}_{0}}{3}$，|F₁F₂|=2c，
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•|y₀|=$\frac{1}{2}$（|F₁F₂|+|PF₁|+|PF₂|）•|$\frac{{y}_{0}}{3}$|
∴2c=$\frac{2a+2c}{3}$，故a=2c．
又直线y=x+$\sqrt{6}$与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴为半径的圆相切，
∴b=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{3}$，
∴a=2，c=1．∴$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆的位置关系，考察学生分析解决问题的能力，属于中档题．